三角形の面積は「底辺×高さ÷２」である。

まず、数学には定義というものが存在します。定義とは、最初の約束事です。無からは何も生まれませんから、最初に約束事を決めておきます。例えば「１＋１＝２」となる理由はありません。最初に１＋１を２としよう、という具合に１という数と２という数の意味を決めていたわけです。

では、面積の定義は何でしょう。面積の定義は「縦１ｃｍ、横１ｃｍの正方形を１平方センチメートルと定め、それがいくつあるかで定める」。これが面積の定義です。

例えば縦３ｃｍ、横４ｃｍの長方形の場合、縦に先ほど考えた正方形が３個入ります。そして、横には４個入りますから、全部で３×４で１２個入るわけです。したがって面積は１２平方センチメートルとなりますね。縦９ｃｍ、横８ｃｍの場合も同様に考えて９×８で答えが求まります。こうして「長方形の面積＝縦×横」という公式が導かれた訳です。

では、三角形はどうでしょうか？底辺４ｃｍ、高さ３ｃｍの三角形で考えてみましょう。下図のように同じ三角形を２つ準備し、片方を２つのブロックに分けます。そして２つに分けたブロックをもう片方の分けてない三角形のにそれぞれ反転してくっつけてやると長方形ができあがります。

さて、新しくできた長方形の面積を求めてみましょう。縦は元の三角形の高さに等しいですから３ｃｍ、横は元の三角形の底辺に等しいから４ｃｍです。したがって４×３で１２平方センチメートルとなります。

ところで求めたい三角形は、この長方形の中に２つ含まれてますから「÷２」となるわけです。結局４×３÷２、つまり「底辺×高さ÷２」が成り立つわけです。